Zadania z matematyki. Tematyka zadań obejmuje: liczby złożone, pierwsze, bliźniacze, NWD - największy wspólny dzielnik, NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność, podzielność, topologię i homeomorfizmy, ciała, metrykę Hausdorffa, hipotezę Goldbacha.
Poziom zadań jest zróżnicowany od Poziomu I najłatwiejszego do Poziomu IV najtrudniejszego(patrz poziom IV). Potrzebne definicje,twierdzenia znajdziesz w działach odpowiednio
definicje, twierdzenia(narazie ich tu nie ma).
Poziom I
Każdą liczbę złożoną można rozłożyć dokładnie na jeden sposób.
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Jeżeli m,n są liczbami całkowitymi dodatnimi to NWD(m,n)*NWW(m,n)=m*n.
Każde dwie kolejne liczby całkowite są względnie pierwsze.
Każdą liczbę pierwszą oprócz 2 można przedstawić jako różnicę kwadratów liczb całkowitych.
Dana jest liczba całkowita dodatnia n. Niech p1do pk oznaczają kolejne liczby pierwsze począwszy od 2. Załóżmy, że 1+p1+...+pk>=n oraz 1+p1+...+pk-1< n. Rozstrzygnąć czy każdą liczbę całkowitą od 1 do n da się przedstawić jako sumę, w której składnikami są liczby 1,p1,...,pkużyte jeden raz.
Poziom II
Udowodnij, że jeżeli liczby całkowite dodatnie m i n są względnie pierwsze to istnieje taka liczba całkowita dodatnia k, że liczba mk-1 jest podzielna przez n.
Przestawiając cyfry pewnej liczby naturalnej n otrzymujemy liczbę m. Udowodnij, że jeżeli n+m=1010 to liczba n jest podzielna przez 10.
Wyznacz wszystkie trójki (x,y,z) liczb całkowitych dodatnich spełniające równanie 1/x+2/(2y-1)-3/z=1.
Poziom III
Podaj liczbę różnych topologii na zbiorze n elementowym z dokładnością do homeomorfizmu.
Podać wszystkie ciała charakterystyki 2 z dokładnością do izomorfizmu.
Podać warunek konieczny i wystarczający, aby metryka Hausdorffa określona na zbiorze podzbiorów niepustego zbioru X dawała przesztrzeń zwartą.
Poziom IV
Rozstrzygnąć czy każdą liczbę naturalną parzystą większą od pięciu da się przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych.
Czy liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele.